Bất biến và hiệp biến

Hồi học đại học tôi rất có vấn đề với yêu cầu hiệp biến. Bất biến thì có thể hiểu tại sao. Thậm chí hiểu sâu sắc, liên quan đến đối xứng.
Nhưng khi phải theo dõi các dẫn xuất các dạng hiệp biến với phép biến đổi nọ biến đổi kia, tôi có cảm giác bị thầy đánh lừa, dắt mũi. Kết quả là không thèm nghe, ghếch mũi lên nhìn ra cửa sổ, khi thi trả bài qua quýt, không bao giờ tự tính toán lại. Cố nhiên điều đó là một thiệt thòi, các tính toán về đại lượng hiệp biến có một vẻ đẹp và rất có ích. Chỉ cần nhầm dấu, hoặc thiếu một hệ số, các công thức sẽ mất mượt mà nhìn chối mắt ngay. Sau này khi thực hiện các tính toán khổng lồ, tôi đã luyện được trực giác đó, và phát hiện ra lỗi tính toán rất nhanh, chỉ tiếc là không rèn luyện sớm hơn.
Sau này tôi mới nhận thức và hiểu phần nào tính hiệp biến, nhưng đến gần đây vẫn còn tiếp tục nhận thức được sự uyên áo của nó.
Rất nhiều người học toán, vật lý không hề có vấn đề với tính hiệp biến, trong đó có nhiều người không xuất sắc hơn tôi quá nhiều cũng hết sức yên tâm với hiệp biến. Có lẽ Einstein trở nên vĩ đại hơn Poincaré về lý thuyết tương đối là nhờ nhận thức ra tính hiệp biến. Ông cũng giữ được khoảng cách với Hilbert, một người chắc chắn có ưu thế hơn ông về hình học Riemann là nhờ hiểu sâu sắc ý nghĩa của hiệp biến.
Tôi cũng cố hiểu xem tại sao tôi lại có vấn đề với hiệp biến:
1. Năng lực hạn chế, nhận thức hạn chế và lười học thời sinh viên thì rõ rồi.
2. Thầy không hiểu rõ khái niệm hoặc không chú trọng phân tích khái niệm có tính cốt lõi trước khi tính toán. Điều đó cũng rõ.
3. Tôi nghe từ hiệp biến đầu tiên trong đại số tuyến tính, phần tensor và phải nuốt cùng với khái niệm "phản biến": Covariant và contravariant. Hai khái niệm này được trình bày khá qua quýt và hại lẫn nhau. Kết quả học sinh thường hiểu là chỉ số trên và chỉ số dưới biến đổi theo hai cách khác nhau. Do định kiến như thế tôi cứ bị vướng và không thể nào hiểu nổi tại sao vật lý lại phải covariant với một định nghĩa nhăng nhít như thế.

Nguyễn Ái Việt (Debrecen,VIDI72)